⑴ 麻煩發我一份控制工程基礎課後習題答案（燕山大學 孔祥東，王益群主編的第三版）郵箱[email protected].
第一章 緒論
內容提要
一、基本概念
1.控制：由人或用控制裝置使受控對象按照一定目的來動作所進行的操作。
2.輸入信號：人為給定的，又稱給定量。
3.輸出信號：就是被控制量。它表徵對象或過程的狀態和性能。
4.反饋信號：從輸出端或中間環節引出來並直接或經過變換以後傳輸到輸入端比較元件中去的信號，或者是從輸出端引出來並直接或經過變換以後傳輸到中間環節比較元件中去的信號。
5.偏差信號：比較元件的輸出，等於輸入信號與主反饋信號之差。
6.誤差信號：輸出信號的期望值與實際值之差。
7.擾動信號：來自系統內部或外部的、干擾和破壞系統具有預定性能和預定輸出的信號。
二、控制的基本方式
1.開環控制：系統的輸出量對系統無控製作用，或者說系統中無反饋迴路的系統，稱為開環控制系統。
2.閉環控制：系統的輸出量對系統有控製作用，或者說系統中存在反饋迴路的系統，稱為閉環控制系統。
三、反饋控制系統的基本組成
1.給定元件：用於給出輸入信號的環節，以確定被控對象的目標值（或稱給定值）。
2.測量元件：用於檢測被控量，通常出現在反饋迴路中。
3.比較元件：用於把測量元件檢測到的實際輸出值經過變換與給定元件給出的輸入值進行比較，求出它們之間的偏差。
4.放大元件：用於將比較元件給出的偏差信號進行放大，以足夠的功率來推動執行元件去控制被控對象。
5.執行元件：用於直接驅動被控對象，使被控量發生變化。
6.校正元件：亦稱補償元件，它是在系統基本結構基礎上附加的元部件，其參數可靈活調整，以改善系統的性能。
四、控制系統的分類
（一）按給定信號的特徵分類
1. 恆值控制系統
2. 隨動控制系統
3. 程序控制系統
（二）按系統的數學描述分類
1. 線性系統
2. 非線性系統
（三）按系統傳遞信號的性質分類
1. 連續系統
2. 離散系統
（四）按系統的輸入與輸出信號的數量分類
1. 單輸入單輸出系統
2. 多輸入多輸出系統
（五）按微分方程的性質分類
1. 集中參數系統
2. 分布參數系統
五、對控制系統的性能要求
1. 穩定性：指系統重新恢復穩態的能力。穩定是控制系統正常工作的先決條件。
2. 快速性：指穩定系統響應的動態過程的時間長短。
3. 准確性：指控制系統進入穩態後，跟蹤給定信號或糾正擾動信號影響的准確度。
1-1 試比較開環控制系統和閉環控制系統的優缺點。
答：優點：開環控制系統無反饋迴路，結構簡單，成本較低。
缺點：控制精度低，容易受到外界干擾，輸出一旦出現誤差無法補償。
1-2 說明負反饋的工作原理及其在自動控制系統中的應用。
答：測量元件檢測被控物理量，並將其反饋回來，通過給比較元件與給定信號進行比較，產生偏差信號。再通過放大元件將偏差信號進行放大，以足夠的功率來推動執行元件去控制被控對象，從而調節和控制系統，使被控量以一定的精度符合或等於期望值。
1-3 控制系統有哪些基本組成元件？這些元件的功能是什麼？
答：反饋控制系統是由各種結構不同的元件組成的。一個系統必然包含被控對象和控制裝置兩大部分，而控制裝置是由具有一定職能的各種基本元件組成的。在不同系統中，結構完全不同的元件卻可以具有相同的職能，因此，將組成系統的職能元件按職能分類主要有以下幾種：
給定元件：用於給出輸入信號的環節以確定被控對象的目標值（或稱給定值）。
測量元件：用於檢測被控量，通常出現在反饋迴路中。
比較元件：用於把測量元件檢測到的實際輸出值經過變換與給定元件給出的輸入值進行比較，求出它們之間的偏差。
放大元件：用於將比較元件給出的偏差信號進行放大，以足夠的功率來推動執行元件去控制被控對象。
執行元件：用於直接驅動被控對象，使被控量發生變化。
校正元件：亦稱補償元件，它是在系統基本結構基礎上附加的元部件，參數可靈活調整，以改善系統的性能。
1-4 對自動控制系統基本的性能要求是什麼？最首要的要求是什麼？
答：基本性能要求：穩、快、准。最首要的要求是穩。
1-5 日常生活中有許多閉環和開環控制系統，試舉幾個具體例子，並說明它們的工作原理。
答：開環控制系統：例如傳統的洗衣機，它按洗衣、清水、去水、乾衣的順序進行工作，無須對輸出信號即衣服的清潔程度進行測量；又如簡易數控機床的進給控制，輸入指令，通過控制裝置和驅動裝置推動工作台運動到指定位置，而位置信號不再反饋。這些都是典型的開環系統。
閉環控制系統：以數控機床工作台的驅動系統為例。一種簡單的控制方案是根據控制
裝置發出的一定頻率和數量的指令脈沖驅動步進電機，以控制工作台或刀架的移動量，而對工作台或刀架的實際移動量不作檢測。這種控制方式簡單，但問題是從驅動電路到工作台這整個「傳遞鏈」中的任一環的誤差均會影響工作台的移動精度或定位精度。為了提高控制精度，採用反饋控制，以檢測裝置隨時測定工作台的實際位置（即其輸出信息）；然後反饋送回輸人端，與控制指令比較，再根據工作台實際位置與目的位置之間的誤差，決定控制動作，達到消除誤差的目的，檢測裝置即為反饋環節。
1-6 試說明如題圖1-6(a)所示液面自動控制系統的工作原理。若將系統的結構改為如題圖1-6(b)所示，將對系統工作有何影響？
答：（a）圖所示系統，當出水閥門關閉時，浮子處於平衡狀態，當出水閥門開啟，有水流出時，水槽中的水位下降，浮子也會下降，通過杠桿作用，進水閥門開啟，水流進水槽，浮子上升。
（b）圖所示系統，假設當前出水閥門關閉時，浮子處於平衡狀態，當出水閥門開啟，有水流出時，水槽中的水位下降，浮子也會下降，通過杠桿作用，進水閥門會隨著水的流出而逐漸關閉，直至水槽中的水全部流出。
1-7 某倉庫大門自動控制系統的原理如題圖1-7所示，試說明自動控制大門開啟和關閉的工作原理，並畫出系統方框圖。
答：系統的方塊圖如題圖1-7(a)所示。
如果希望開門，則將門當前狀態對應的電壓取出，與開門狀態參考電位比較（相減），然後送放大器，驅動伺服電機，帶動絞盤使門打開，直到門的狀態所對應的電壓與開門狀態參考電位相等時，放大器比較（相減）的結果為零，執行元件不工作，門保持打開狀態不再變化。
如果希望關門，則將門當前狀態對應的電壓取出，與關門狀態參考電位比較（相減），然後送放大器，驅動伺服電機，帶動絞盤使門關閉，直到門的狀態所對應的電壓與關門狀態參考電位相等時，放大器比較（相減）的結果為零，執行元件不工作，門保持關閉狀態不再變化。
1-8 題圖1-8表示角速度控制系統原理圖。離心調速的軸由內燃發動機通過減速齒輪獲得角速度為的轉動，旋轉的飛錘產生的離心力被彈簧力抵消，所要求的速度由彈簧預緊力調准。當突然變化時，試說明控制系統的作用情況。
答：工作原理：當發動機帶動負載轉動時，通過齒輪帶動一對飛錘作水平旋轉。飛錘通過鉸鏈可帶動套筒上下滑動，套筒內裝有平衡彈簧，套筒上下滾動時通過連桿調節燃料供給閥門的開度。當發電機正常運行時，飛錘旋轉所產生的離心力與彈簧的反彈力相平衡，套筒保持某個高度，使閥門處於一個平衡位置。如果由於負載增大使發電機轉速下降，則飛錘因離心力減小而使套筒向下滑動，並通過連桿增大燃料供給閥門的開度，從而使發電機的轉速回升。同理，如果由於負載減小使發電機轉速增大，則飛錘因離心力增加而使套筒向上滑動，並通過連桿減小燃料供給閥門的開度，迫使發電機的轉速回落。這樣，離心調速器就能自動地抵制負載變化對轉速的影響，使發電機的轉速保持在期望值附近。
1-9 角位置隨動系統原理圖如題圖1-9所示，系統的任務是控制工作機械角位置，隨時跟蹤手柄轉角。試分析其工作原理，並畫出系統方框圖。
答：（1）工作原理：閉環控制。
只要工作機械轉角與手柄轉角一致，兩環形電位器組成的橋式電路處於平衡狀態，無電壓輸出。此時表示跟蹤無偏差，電動機不動，系統靜止。
如果手柄轉角變化了，則電橋輸出偏差電壓，經放大器驅動電動機轉動。通過減速器拖動工作機械向要求的方向偏轉。當時，系統達到新的平衡狀態，電動機停轉，從而實現角位置跟蹤目的。
（2）系統的被控對象是工作機械，被控量是工作機械的角位移。給定量是手柄的角位移。控制裝置的各部分功能元件分別是：手柄完成給定，電橋完成檢測與比較，電動機和減速器完成執行功能。
系統方框圖如題圖1-9（2）所示。
1-10 題圖1-10是電爐溫度控制系統原理示意圖。試分析系統保持電爐溫度恆定的工作過程，指出系統的被控對象、被控量以及各部件的作用，最後畫出系統方塊圖。
（1）工作原理：閉環控制。
只要熱電偶測量電爐溫度輸出的電壓與給定電壓一致，則無偏差電壓產生，電壓放大器和功率放大器無電壓輸出，電動機不動，電阻絲發熱不變，系統靜止。
如果電爐溫度變化了，熱電偶測量電爐溫度輸出的電壓也發生變化，與給定電壓不一致，產生偏差電壓，經放大器驅動電動機轉動，由減速器減速後拖動滑動變阻器指針移動，電阻絲發熱功率改變。當爐溫對應的電壓與給定電壓相等時，系統達到新的平衡狀態，電動機停轉，從而實現恆溫控制的目的。
（2）系統的被控對象是電爐，被控量是爐溫。給定參考量是給定電壓。控制裝置的各部分功能元件分別是：滑動變阻器完成比較，熱電偶完成檢測，放大器、電動機和減速器完成執行功能。
系統方框圖如題圖1-10（a）所示。
第二章 拉普拉斯變換的數學方法
內容提要
一、拉普拉斯變換的定義
設時間函數，≥0，則的拉普拉斯變換定義為：。
二、典型時間函數的拉氏變換
1. 單位脈沖函數，
2. 單位階躍函數，
3. 單位斜坡函數，
4. 單位加速度函數，
5. 指數函數，
6. 正弦函數，
7. 餘弦函數，
8. 冪函數，
三、拉氏變換的性質
1.線性性質
若有，，為常數。則
2. 延時定理
若有
3. 周期函數的拉氏變換
若函數是以為周期的周期函數，即，則有
4. 復數域位移定理
若，對任意常數（實數或復數），則有
5. 時間尺度改變性質
若，是任意常數，則
6. 微分性質
若，則
7. 積分性質
若，則
8. 初值定理
若，且存在，則
9. 終值定理
若且存在，則
10. 復微分定理
若，則
11. 復積分定理
若，則
12. 卷積定理
2-1 試求下列函數的拉氏變換
（1）
解：
（2）
解：
（3）
解：
（4）
解：
（5）
解：
（6）
解：
（7）
解：
（8）
解：
2-2 已知
（1）利用終值定理，求時的值。
解：
（2）通過取拉氏反變換，求時的值。
解：
2-3 已知
（1）利用初值定理求值。
解：
（2）通過取拉氏反變換求，然後求。
解：
2-4 求下列圖所示函數的拉氏變換。
解：（1）根據周期信號的拉氏變換性質，可得
解：
2-5 試求下列函數的拉氏反變換
（1）
解：
（2）
解：
（3）
解：
（4）
解：
（5）
解：
（6）
解：
（7）
解：
（8）
解：
2-6 求下列卷積
（1）
解：
（2）
（3）
（4）
2 -7 用拉氏變換的方法解下列微分方程
（1）
解：
（2）
第三章 系統的數學模型
內容提要
一、基本概念
1. 線性系統
當系統的數學模型能用線性微分方程描述時，這種系統稱為線性系統。線性系統微分方程的一般表達式為
2. 非線性系統
由非線性微分方程來描述其動態特性的系統，稱為非線性系統
二、系統的微分方程建立的步驟
1.確定系統或者元件的輸入量、輸出量。系統的輸入量或者擾動輸入量都是系統的輸入量，而被控量則是輸出量。對於一個環節或者元件而言，應該按照系統信號傳遞情況來確定輸入量、輸出量。
2.按照信號的傳遞順序，從系統的輸入端開始，依據各變數所遵循的運動規律（如電路中的克希荷夫定律，力學中的牛頓定律，熱力系統中的熱力學定律以及能量守恆定律），列寫出在運動過程中的各個環節的動態微分方程。列寫時按工作條件，忽略一些次要因素，並考慮相鄰元件之間是否存在負載效應。
3.消去所列各微分方程組的中間變數，從而得到描述系統的輸入、輸出量的微分方程。
4.整理所得微分方程。一般將與輸出量有關的各項放在等號左側，與輸入量有關的各項放在等號的右側，並按照降冪排列。
三、傳遞函數
傳遞函數的定義：單輸入、單輸出線性定常系統在零初始條件下，輸出量的拉氏變換與其輸入量的拉氏變換之比，即為線性定常系統的傳遞函數。
四、典型環節的傳遞函數
1. 比例環節
2. 慣性環節
3. 積分環節
4. 微分環節
5. 振盪環節
6. 延遲環節
五、信號流圖
信號流圖是一種表示一組聯立線性代數方程的圖。從描述系統的角度來看，它描述了信號從系統中一點流向另一點的情況，並且表明了各信號之間的關系，包含了結構圖所包含的全部信息，與結構圖一一對應。
梅遜公式：
式中，——總傳遞函數；
——第條前向通路的傳遞函數；
——信號流圖的特徵式。
式中，——第條迴路的傳遞函數；
——系統中所有迴路傳遞函數的總和；
——兩個互不接觸迴路傳遞函數的乘積；
——系統中每兩個互不接觸迴路傳遞函數乘積之和；
——三個互不接觸迴路傳遞函數的乘積；
——系統中每三個互不接觸迴路傳遞函數乘積之和；
——為第條前向通路特徵式的余因子，即在信號流圖的特徵式中，將與第條前向通路相接觸的迴路傳遞函數代之以零後求得的，即為。
六、系統的狀態空間描述
（一）單變數系統的狀態方程描述
1．狀態方程
階線性定常單輸入單輸出系統的狀態方程為
簡寫為
2．輸出方程
若指定作為輸出量，則系統輸出方程的矩陣形式為
或簡寫成
3．狀態空間表達式
（二）多變數系統的狀態方程描述
或改寫為矩陣方程
3 -1求題圖3-1(a)、(b)所示系統的微分方程。
解：（1）輸入f(t),輸出y(t)
(2)對質量塊m：
(3)整理得：
（b）解：(1) 輸入f(t),輸出y(t)
(2)引入中間變數x(t)為連接點向右的位移，（y>x）
(3) ①
②
(4)由①、②消去中間變數得：
3-2 求題圖3-2(a)、(b)、(c)所示三個機械繫統的傳遞函數。圖中，表示輸入位移，表示輸出位移。假設輸出端的負載效應可以忽略。
（a） 解：（1）輸入輸出
（2）對質量塊m：
（3）整理得：
（4）兩邊進行拉氏變換得：
（5）傳遞函數：
（b）解：（1）輸入輸出
（2）引入中間變數x為與c之間連接點的位移
（3） ①
②
（4）消去中間變數x,整理得：
（5）兩邊拉氏變換：
（6）傳遞函數：
（c）解：（1）輸入輸出
（2）
（3）兩邊拉氏變換：
（4）傳遞函數：
3-3 求題圖3-3所示機械繫統的微分方程。圖中為輸入轉矩，為圓周阻尼，為轉動慣量。
解：設系統輸入為（即），輸出為（即），分別對圓盤和質塊進行動力學分析，列些動力學方程如下：
消除中間變數，即可得到系統動力學方程
3-4 設皮帶輪傳動系統如題3-4圖所示，圖中，輪1和輪2的半徑分別為和，轉動慣量為和，黏性摩擦系數為和。若皮帶傳動無滑動並忽略皮帶質量，試求該皮帶輪傳動系統的傳遞函數。其中，為輸入轉矩，為輸出轉角。
解：輪1的轉矩方程為
輪2的轉矩方程為
對上述兩式去拉氏變換，並設初始條件為零，則有
由於輪1和輪2做功相等，所以有
則
將與的關系代入上述拉氏變換方程，消去中間變數和，可得
整理後可得
其中。
3-5 證明題圖3-5(a)和(b)所示系統是相似系統。
解：（a）(1)輸入，輸出
（2）系統的傳遞函數：
（b）（1）輸入，輸出
（2）引入中間變數x為與c1之間連接點的位移
（3） ① ②
（4）兩邊拉氏變換： ①
②
（5）消去中間變數整理得：
（6）傳遞函數：
（a）和（b）兩系統具有相同的數學模型，故兩系統為相似系統。
3-6 在題圖3-6所示的無源網路中，已知，試求網路的傳遞函數，並說明該網路是否等效於RC網路串聯？
解 對於題圖3-6。利用復數阻抗的方法可得網路的傳遞函數為
由於兩個RC網路串聯的傳遞函數為
故該網路與兩個RC網路串聯形成的網路不等效。
3-7 輸出與輸入的關系為
(a)求當工作點分別為時相應的穩態輸出值。
(b)在這些工作點處作小偏差線性化模型，並以對工作點的偏差來定義和，寫出新的線性化模型。
解：(a)將分別代入中，即得當工作點為時，相應的穩態輸出值分別為。
(b)根據非線性系統線性化的方法有，在工作點附近，將非線性函數展開成泰勒級數，並略去高階項得
所以
若令，有
當工作點為時，
當工作點為時，
當工作點為時，
3-8 若系統傳遞函數方框圖如題圖3-8所示，求：
(1)以為輸入，當時，分別以為輸出的閉環傳遞函數。
(2)以為輸入，當時，分別以為輸出的閉環傳遞函數。
(3)比較以上各傳遞函數的分母，從中可以得到什麼結論。
解：(1)以為輸入，當時：
若以為輸出，有
若以為輸出，有
若以為輸出，有
若以為輸出，有
(2)以為輸入，當時：
若以為輸出，有
若以為輸出，有
若以為輸出，有
若以為輸出，有
(3)從上可知：對於同一個閉環系統，當輸入的取法不同時，前向通道的傳遞函數不同，反饋迴路的傳遞函數不同，系統的傳遞函數也不同，但系統的傳遞函數的分母保持不變，這是因為這一分母反映了系統的固有特性，而與外界無關。
3-9 已知一系統由如下方程組組成，試繪制系統結構圖並求閉環傳遞函數C(s)/R(s)。
解：根據系統方程組可繪制系統結構圖，如題圖3-9所示。
由
可得：
代入
得
又因為
故
即
又解：（1）運用結構簡化的辦法，將的引出點後移，可得系統的前向通道傳遞函數為
則系統的閉環傳遞函數為
（2）運用信號流圖的辦法，本系統有一條前向通道，三個單獨迴路，無互不接觸迴路
，
由梅遜公式可得系統的傳遞函數為
3-10 試簡化題圖3-10所示系統結構圖，並求出相應的傳遞函數和。
解：當僅考慮作用時，經過反饋連接等效可得簡化結構圖（題圖3-10(a)），則系統的傳遞函數為
當僅考慮作用時，系統結構如題圖3-10（b）所示。系統經過比較點後移和
串、並聯等效，可得簡化結構圖，如題圖3-10（c）所示。則系統傳遞函數為
又解：可用信號流圖方法對結果進行驗證。
題圖3-10系統的信號流圖如題圖3-10（d）所示。
當僅考慮作用時，由圖可知，本系統有一條前向通道，兩個單獨迴路，無互不接觸迴路，即
由梅遜公式可得系統的傳遞函數為
當僅考慮作用時，由圖可知，本系統有兩條前向通道，兩個單獨迴路，無互不接
觸迴路，即
，
，
由梅遜公式可得系統的傳遞函數為
.
3-11 已知某系統的傳遞函數方框如題圖3-11所示，其中，R(s)為輸入，C(s)為輸出，N(s)為干擾，試求，G(s)為何值時，系統可以消除干擾的影響。
解：
若使，
則，即
3-12 求題圖3-12所示系統的傳遞函數。
解：
3-13求題圖3-13所示系統的傳遞函數。
解：
3-14 求題圖3-14所示系統的傳遞函數。
解：
3-15 求題圖3-15所示系統的傳遞函數
解：（1）
（2）
3-16 已知系統的信號流圖如題圖3-16所示，試求系統的傳遞函數。
解：考察題圖3-16，本系統有一條前向通道，三個單獨迴路，無互不接觸迴路，即
由梅遜增益公式可得傳遞函數為
3-17 設系統的微分方程為
試求系統的狀態空間表達式。
解：若，可導出狀態方程和輸出方程
3-18 給定系統傳遞函數為
試寫出它的狀態空間表達式。
解：
3-19 設系統傳遞函數為
試用MATLAB數學模型轉換函數轉換成系統狀態方程。
解：在MATLAB命令窗口輸入下述MATLAB數學模型轉換程序，將產生矩陣A、B、C、D．
num=[0 0 0 1];
den=[1 3 2 1];
[A B C D]=tf2ss(num,den)
A =
-3 -2 -1
1 0 0
0 1 0
B =
1
0
0
C =
0 0 1
D =
0
即該系統狀態方程為
3-20 系統狀態方程為
試用MATLAB數學模型轉換函數轉換成系統傳遞函數。
解：在MATLAB命令窗口輸入下述MATLAB數學模型轉換程序
A=[-8,-16,0;1,0,0;0,1,0];
B=[1;0;0];
C=[1,4,3];
D=[0];
[num,den]=ss2tf(A,B,C,D)
num =
0 1.0000 4.0000 3.0000
den =
1 8 16 0
即該系統傳遞函數為
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